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已知椭圆 $数学公式$ （a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁（-c，0）、F₂（c，0），离心率为 $数学公式$ ，椭圆上的动点P到直线l：x= $数学公式$ 的最小距离为2，延长F₂P至Q使得| $数学公式$ |=2a，线段F₁Q上存在异于F₁的点T满足 $数学公式$ ．
（1）求椭圆的方程；
（2）求点T的轨迹C的方程；
（3）求证：过直线l：x= $数学公式$ 上任意一点必可以作两条直线与T的轨迹C相切，并且过两切点的直线经过定点．

（1）解：依题意，∵椭圆离心率为 $\text{[math]}$ ，椭圆上的动点P到直线l：x= $\text{[math]}$ 的最小距离为2，
∴ $\text{[math]}$ ，…（2分）
∴ $\text{[math]}$ ，∴b²=a²-c²=3 …（3分）
∴椭圆的方程为 $\text{[math]}$ …（4分）
（2）解：设点T的坐标为（x，y）．
当P，T重合时，点T坐标为（2，0）和点（-2，0），…（5分）
当P，T不重合时，由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ．…（6分）
由| $\text{[math]}$ |=2a及椭圆的定义，| $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |-| $\text{[math]}$ |=2a-| $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |，…（7分）
所以PT为线段F₁Q的垂直平分线，T为线段F₁Q的中点
在△QF₁F₂中， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ | $\text{[math]}$ |=a=2，…（8分）
所以有x²+y²=4．
综上所述，点T的轨迹C的方程是x²+y²=4．…（9分）
（3）证明：直线l：x= $\text{[math]}$ 与x²+y²=4相离，过直线上任意一点M（4，t）可作圆x²+y²=4③的两条切线ME，MF …（10分）
所以OE⊥ME，OF⊥MF，所以O，E，M，F四点都在以OM为直径的圆上，…（11分）
其方程 $\text{[math]}$ ④…（12分）
EF为两圆的公共弦，③-④得：EF的方程为4x+ty-4=0 …（13分）
显然无论t为何值，直线EF经过定点（1，0）．…（14分）
分析：（1）根据椭圆离心率为 $\text{[math]}$ ，椭圆上的动点P到直线l：x= $\text{[math]}$ 的最小距离为2，建立方程组，即可求得椭圆的方程；
（2）设点T的坐标，分类讨论：当P，T重合时，点T坐标为（2，0）和点（-2，0：当P，T不重合时，由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，由| $\text{[math]}$ |=2a及椭圆的定义，可得PT为线段F₁Q的垂直平分线，T为线段F₁Q的中点，由此可求点T的轨迹C的方程；
（3）设两条切线为ME，MF，则可得O，E，M，F四点都在以OM为直径的圆上，可求圆的方程，进而可得两圆的公共弦的方程，即可得到结论．
点评：本题主要考查椭圆的标准方程，考查平面向量知识，考查圆的方程，考查运算求解能力及创新意识，属于中档题．

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