Question

在下列四个函数中，在[1，+∞）是减函数的是                                      （　　）

• A．y=x²-2x-1
• B．y=

  2

  x+1

• C．y=2^|x|
• D．y=|log

  1

  10

  x|

Answer 1

分析：利用二次函数的性质可得A不满足条件，利用函数的单调性的定义证明函数y=

2

x+1

在[1，+∞）是减函数，利用指数函数性质可得y=2^|x| 在[1，+∞）是增函数，故C不满足条件，利用对数函数的性质可得函数y=|log

1

10

x| 在[1，+∞）是增函数，故排除D，从而得出结论．

解答：解：由二次函数y=x²-2x-1的对称轴为x=1可得，二次函数y=x²-2x-1在[1，+∞）是增函数，故排除B．
设函数y=

2

x+1

=f（x），设x₂＞x₁≥1，由于f（x₂）-f（x₁）=

2

x2+1

-

2

x1+1

=

2(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

＜0，故f（x₂）＜f（x₁），
故函数y=

2

x+1

=f（x） 在[1，+∞）是减函数，故B满足条件．
当 x∈[1，+∞）时，函数y=2^|x| 即y=2^x，显然函数y=2^|x| 在[1，+∞）是增函数，故排除C．
当 x∈[1，+∞）时，函数y=|log

1

10

x|=-log

1

10

x=log

1

10

1

x

=lgx，显然此函数在[1，+∞）是增函数，故排除D．
故选B．

点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，属于基础题．