Question

设函数f（x）=cos²ωx其中0＜ω＜2．
（I）设ω=

1

2

，求f（x）的单调增区间；
（II）若函数f（x）的图象的一条对称轴为x=

π

3

，求ω的值．

Answer 1

分析：（I）把ω的值代入函数解析式后，利用二倍角的余弦函数公式化简得到一个关于x的余弦函数，找出余弦函数的单调递增区间，即为函数f（x）的单调增区间；
（II）根据二倍角的余弦函数公式化简已知的函数解析式，因为函数f（x）的图象的一条对称轴为x=

π

3

，把x=

π

3

代入函数解析式，得到的函数值f（

π

3

）为函数的最值，从而得到cos

2π

3

ω=±1，根据余弦函数的图象与性质得

2π

3

ω=kπ
，由k为正整数且0＜ω＜2，即可得出ω的值．

解答：解：（I）当ω=

1

2

时，f(x)=cos2

1

2

x=

1+cosx

2

，（2分）
∴f（x）的单调增区间是（2kπ-π，2kπ）（k∈Z）；（5分）

（II）化简得：f(x)=

1+cos2ωx

2

，
∵函数f（x）的图象的一条对称轴为x=

π

3

，
∴f(

π

3

)=

1+cos 2π 3 ω

2

取最值，
∴cos

2π

3

ω=±1，（8分）
∴

2π

3

ω=kπ（k∈Z），
∴ω=

3

2

k，（10分）
∵0＜ω＜2，
∴ω=

3

2

．（12分）

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，余弦函数的单调性及对称性，灵活运用二倍角的余弦函数公式，熟练掌握余弦函数的图象与性质是解本题的关键．