Question

（本小题满分13分）

已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)=T·f(x)成立.

 （1）函数f(x)= x 是否属于集合M？说明理由；

 （2）设函数f(x)=a^x（a>0,且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f(x)=a^x∈M；

 （3）若函数f(x)=sinkx∈M ,求实数k的取值范围.

Answer 1

（本小题满分13分）

[解]（1）对于非零常数T，f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx. 因为对任意x∈R，x+T= Tx不能恒成立，所以f(x)=

（2）因为函数f(x)=a^x（a>0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，

所以方程组：有解，消去y得a^x=x,

显然x=0不是方程a^x=x的解，所以存在非零常数T，使a^T=T.

于是对于f(x)=a^x有 故f(x)=a^x∈M.

（3）当k=0时，f(x)=0，显然f(x)=0∈M.

当k≠0时，因为f(x)=sinkx∈M，所以存在非零常数T，对任意x∈R，有

f(x+T)=T f(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx .

因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，

于是sinkx ∈[－1，1]，sin(kx+kT) ∈[－1，1]，

故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立，

只有T=，当T=1时，sin(kx+k)=sinkx 成立，则k=2mπ, m∈Z .

当T=－1时，sin(kx－k)=－sinkx 成立，

即sin(kx－k+π)= sinkx 成立，

则－k+π=2mπ, m∈Z ，即k=－2(m－1) π, m∈Z .

综合得，实数k的取值范围是{k|k= mπ, m∈Z}