Question

设an=

n

k=1

1

k(n+1-k)

，求证：当正整数n≥2时，a_n+1＜a_n．

Answer 1

分析：先对数列的通项化简，再作差，证明其大于0，即可证得结论．

解答：证明：由于

1

k(n+1-k)

=

1

n+1

(

1

k

+

1

n+1-k

)，因此
an=

n

k=1

1

k(n+1-k)

=

n

k=1

1

n+1

(

1

k

+

1

n+1-k

)=

1

n+1

(1+

1

n

+

1

2

+

1

n-1

+…+

1

n

+1)=

2

n+1

(1+

1

2

+…+

1

n

)=

2

n+1

n

k=1

1

k

，
于是，对任意的正整数n≥2，有

1

2

(an-an+1)=

1

n+1

n

k=1

1

k

-

1

n+2

n+1

k=1

1

k

=(

1

n+1

-

1

n+2

)

n

k=1

1

k

-

1

(n+1)(n+2)

=

1

(n+1)(n+2)

(

n

k=1

1

k

-1)＞0，即a_n+1＜a_n．

点评：本题考查数列与不等式的综合，考查学生分析解决问题的能力，对数列的通项化简是关键．