Question

关于x的方程（1-a）x²+2ax+2-3a=0至少有一个正根，则a∈

（

2

3

，2]

．

Answer 1

分析：①当二次项的系数 1-a=0时，经检验满足条件．②当二次项的系数 1-a≠0时，则有△≥0，分两个根一个为正数另一个是非负数，和两个根一正、一负根两种情况，
分别求得a的取值范围．综合①②，把得到的a的取值范围再取并集，即得所求．

解答：解：①当二次项的系数 1-a=0时，即a=1时，方程即 2x-1=0，解得x=

1

2

，故满足条件．
②当二次项的系数 1-a≠0时，即a≠1时，由判别式△=4a²-4（1-a）（2-3a）=-4（a-2）（2a-1）≥0，解得

1

2

≤a≤2．
若两个根一个为正数另一个是非负数，则两根之和

2a

a-1

＞0 且两根之积

2-3a

1-a

≥0，解得a＜0，或a≥1．
综合可得，1≤a≤2．
若方程有一正、一负根，则两根之积

2-3a

1-a

＜0，解得

2

3

＜a＜1．
综合可得，

2

3

＜a＜1．
综合①②可得，a的取值范围为（

2

3

，2]，
故答案为 （

2

3

，2]．

点评：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，考查分类讨论思想，转化思想，是中档题．