Question

在平面直角坐标系xoy中，已知四点A（2，0），B（-2，0），C（0，-2），D（-2，-2），把坐标系平面沿y轴折为直二面角．
（1）求证：BC⊥AD；
（2）求三棱锥C-AOD的体积．

Answer 1

解：（1）【法一】∵BOCD为正方形，
∴BC⊥OD，∠AOB为二面角B-CO-A的平面角
∴AO⊥BO，∵AO⊥CO，且BO∩CO=O
∴AO⊥平面BCO，又BC⊆平面BCO
∴AO⊥BC，且DO∩AO=O
∴BC⊥平面ADO，且AD⊆平面ADO，∴BC⊥AD．


【法二】分别以OA，OC，OB为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则
设O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，0，2），C（0，2，0），D（0，2，2）；
有=（-2，2，2），=（-2，2，0），∴•=0，∴⊥，即BC⊥AD．
（2）三棱锥C-AOD的体积为：V_C-AOD=V_A-COD=•S_△COD•OA
=××2×2×2=．
分析：（1）【法一】要证异面直线BC⊥AD，须证BC⊥平面ADO，即证AO⊥BC，BC⊥OD，这是成立的；
【法二】建立空间直角坐标系，
由向量的数量积为0，得两向量垂直．
（2）三棱锥的体积由体积公式V=•S_高•h可得．
点评：本题考查了空间中的垂直关系，可以直接证明线线垂直，得线面垂直；线面垂直，得线线垂直．用向量的数量积为0，证线线垂直更容易．求三棱锥的体积是关键是求底面积和高．