Question

11、若不等式a＜2x-x²对于任意的x∈[-2，3]恒成立，则实数a的取值范围为

（-∞，-8）

．

Answer 1

分析：不等式a＜2x-x²对于任意的x∈[-2，3]恒成立，则实数a应小于f（x）=-x²+2x在[-2，3]上的最小值，求出f（x）=-x²+2x在[-2，3]上的最小值，实数a的取值范围即可得出．

解答：解析：由已知不等式a＜-x²+2x对任意x∈[-2，3]恒成立，令f（x）=-x²+2x，x∈[-2，3]，
∵f（x）在[-2，1]上是单调增函数，在[1，3]上单调递减，
可得当x=-2时，f（x）_min=f（-2）=-（x-1）²+1=-8，
∴实数a的取值范围a∈（-∞，-8）．
故答案为：（-∞，-8）

点评：本题考查函数的恒成立问题，把问题转化为求f（x）=-x²+2x在[-2，3]上的最小值．