Question

把函数y=lnx-2的图象按向量

a

=(-1，2)平移得到函数y=f（x）的图象．
（I）若x＞0，试比较f(x)与

2x

x+2

的大小，并说明理由；
（II）若不等式

1

2

x2≤f(x2)+m2-2bm-3．当x，b∈[-1，1]时恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）图象按向量

a

=(-1，2)平移，即向左平移1个单位，向右平移2各单位得到f（x）的图象，用作差法，构造函数利用函数的导数判断单调性进行求解；
（II）将恒成立问题转化为最值问题，构造函数，利用函数的导数判断单调性进而求在区间（-1，1）上的最值，最终解决不等式问题．

解答：解：（1）f（x）=ln（x+1）
令g(x)=ln(x+1)-

2x

x+2

则g′(x)=

x2

(x+1)(x+2)2

＞0
∴g（x）在定义域上是单调增函数
∴g（x）＞g（0）=0
∴f(x)＞

2x

x+2

（II）原不等式?

1

2

x2-f(x2)≤m²-2bm-3（x，b∈[-1，1]）恒成立，
令h(x)=

1

2

x2-ln(x2+1)，
则h′(x)=

x(x+1)(x-1)

x2+1

∴h（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减
∴ln（x）在（-1，1）上最大值为h（0）=0
∴m²-2bm-3≥0，对b∈[-1，1]恒成立
∴

2m+m2-3≥0 -2m+m2-3≥0

∴m≤-3或m≥3

点评：本题考查不等式的综合应用，利用转化思想将恒成立问题转化为最值问题，考查函数导数与单调性之间的关系及求最值，属于中档题．