Question

如图，过原点的动直线交圆x²+（y-1）²=1于点Q，在直线OQ上取点P，使P到直线y=2的距离等于|PQ|，求动直线绕原点转一周时P点的轨迹方程．

Answer 1

解：设P（x，y），圆O₁：x²+（y-1）²=1与直线y=2切于点A，连接AQ，易知|AQ|=|AR|=|x|，|PQ|=|PR|=2-y，
在Rt△OQA中，利用|OA|²=|AQ|²+|OQ|²，
即2²=|x|²+[-（2-y）]²，
化简整理得x²（x²+y²-4）=0，
∴x=0或x²+y²=4为所求的轨迹方程．
分析：设P（x，y），圆O₁与直线y=2切于点A，连接AQ，|PQ|=|PR|=2-y，
∴在Rt△OQA中，|OA|²=|AQ|²+|OQ|²，推出x²（x²+y²-4）=0，求得x=0或x²+y²=4为所求的轨迹方程．
点评：本题是中档题，考查轨迹方程的求法，利用转化思想是本题解答的关键，考查计算能力，逻辑推理能力，常考题型．