Question

已知点P_n（a_n，b_n）都在直线l：y=2x+2上，P₁为直线l与x轴的交点，数列{a_n}成等差数列，公差为1（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若f（n）=

an(n=2m+1) bn(n=2m)

（m∈Z），问是否存在k∈N^*，使得f（k+5）=2f（k）-2成立？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）求证：

1

|P1P2|2

+

1

|P1P3|2

+…+

1

|P1Pn|2

＜

2

5

（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

分析：（I）先求得P₁，从而得a₁，b₁，根据等差数列的通项公式可求得a_n，由点P_n（a_n，b_n）都在直线l：y=2x+2上可求得b_n；
（Ⅱ）假设存在符合条件的k，分k为偶数，k为奇数两种情况讨论：由f（n）表达式可分别求得f（k+5），f（k），解出方程f（k+5）=2f（k）-2即可作出判断；
（Ⅲ）由P_n（n-2，2n-2），得|P₁P_n|=

5

（n-1）（n≥2），代入不等式左边并进行放缩，利用裂项相消法可化简，由化简结果可得结论；

解答：解：（I）由题意得P₁（-1，0），故a₁=-1，b₁=0，
又{a_n}成等差数列，公差为1，所以a_n=-1+（n-1）×1=n-2，
由点P_n（a_n，b_n）都在直线l：y=2x+2上，所以b_n=2a_n+2=2（n-2）+2=2n-2；
（II）f（n）=

an，(n=2m+1) bn，(n=2m)

(m∈Z)，假设存在符合条件的k，
①若k为偶数，则k+5为奇数，有f（k+5）=k+3，f（k）=2k-2，
如果f（k+5）=2f（k）-2，则k+3=4k-6⇒k=3与k为偶数矛盾．
②若k为奇数，则k+5为偶数，有f（k+5）=2k+8，f（k）=k-2，
如果f（k+5）=2f（k）-2，则2k+8=2k-6，这样的k也不存在．
故不存在符合条件的k．
（III）∵P_n（n-2，2n-2），∴|P₁P_n|=

5

（n-1）（n≥2），
∴

1

|P1P2|2

+

1

|P1P3|2

+…+

1

|P1Pn|2

=

1

5

[1+

1

22

+

1

32

+…+

1

(n-1)2

]＜

1

5

[1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-2)(n-1)

]=

1

5

[1+1-

1

n-1

]＜

2

5

．

点评：本题考查数列与不等式的综合、等差等比数列的性质、数列求和等知识，考查学生综合运用所学知识解决问题的能力，本题综合性强，难度较高．