Question

函数的定义域为（0，+∞）（a为实数）．
（1）当a=-1时，求函数y=f（x）的值域（不必说明理由）；
（2）若函数y=f（x）在[1，+∞）定义域上是增函数，求负数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若不等式f（m•4^x+1）≥f（2^x）（m＞0，且m为常数）在x∈（0，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵的定义域为（0，+∞），a=-1，
∴f（x）=2x+=2，
当且仅当2x=，x=时取等号，
∴函数y=f（x）的值域为； …（2分）
（2）函数y=f（x）在[1，+∞）上是增函数，
则任取x₁，x₂∈（0.1]且x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂）成立，
从而有
在[1，+∞）上成立
∴-2≤a＜0，
∴负数a的取值范围是[-2，0）．…（5分）
（3）∵m＞0，x∈（0，+∞），
从而m•4^x+1＞1且2^x＞1，
从而又（2）可得：在x∈（0，+∞）上恒成立．
令，，
从而可得
∴实数m的取值范围是{m|}．…（5分）
分析：（1）由的定义域为（0，+∞），a=-1，知f（x）=2x+=2，由此能求出函数y=f（x）的值域．
（2）函数y=f（x）在[1，+∞）上是增函数，任取x₁，x₂∈（0.1]且x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂）成立，由此能求出负数a的取值范围．
（3）m＞0，x∈（0，+∞），从而m•4^x+1＞1且2^x＞1，由此能求出实数m的取值范围．
点评：本题考查函数的值域的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，综合性强，难度大，考查运算推理能力和等价转化思想，解题时要认真审题，注意均值不等式的合理运用．