Question

3．已知关于x的不等式kx²-2x+6k＜0（k≠0），
（1）若不等式的解集为{x|x＜-3或x＞-2}，
（2）若不等式的解集为R，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次不等式的解法，二次函数的性质，可得 x₁=-3，x₂=-2是方程kx²-2x+6k=0的两根，利用韦达定理求得k的值．
（2）由题意利用二次函数的性质，求得k的取值范围．

解答 解　（1）∵关于x的不等式kx²-2x+6k＜0（k≠0）的解集为{x|x＜-3或x＞-2}，
∴x₁=-3，x₂=-2是方程kx²-2x+6k=0的两根，所以x₁+x₂=$\frac{2}{k}$=-5，∴k=-$\frac{2}{5}$．
（2）若不等式的解集为R，即kx²-2x+6k＜0恒成立，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{k＜0}\\{△=4-2{4k}^{2}＜0}\end{array}\right.$，求得k＜-$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题主要考查一元二次不等式的解法，二次函数的性质，函数的恒成立问题，属于基础题．