Question

16．已知f（x）是定义在（0，+∞）内的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．
（Ⅰ）求f（8）；
（Ⅱ）求不等式f（x）+f（x-2）＞3的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件，直接通过f（8）=f（4）+f（2），f（4）=f（2）+f（2）求解f（8）；
（Ⅱ）利用已知条件转化不等式f（x）+f（x-2）＞3为不等式组，即可求解不等式的解集．

解答 解：（Ⅰ）∵f（xy）=f（x）+f（y）且f（2）=1
∴令x=y=2，则f（4）=f（2）+f（2）=2，
令x=4，y=2，则f（8）=f（4）+f（2）=2+1=3（6分）
（Ⅱ）∵f（x）+f（x-2）＞3，
∴f（x（x-2））＞f（8），（8分）
又∵f（x）是定义在（0，+∞）内的增函数，
$\left\{\begin{array}{l}x＞0\\ x-2＞0\\ x（x-2）＞0\end{array}\right.$，解得x＞4，
∴不等式的解集为（4，+∞）．（12分）

点评 本题考查抽象函数的应用，函数的单调性的应用，考查计算能力以及转化思想的应用．