Question

如图，已知椭圆G：的右准线l₁：x=4与x轴交与点M，点A，F₂分别是的右顶点和右焦点，且MA=2AF₂．过点A作斜率为-1的直线l₂交椭圆于另一点B，以AB为底边作等腰三角形ABC，点C恰好在直线l₁上．
（1）求椭圆G的方程；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）由MA=2AF₂，得椭圆的离心率为，从而a=2c，又椭圆的右准线l₁：x=4，所以，所以a=2，c=1，从而可求椭圆G的方程；
（2）直线l₂的方程为y=-x+2，解方程组，可得，所以AB中点，从而可得AB的垂直平分线方程为，由此可求，所以，，故可求△ABC的面积．
解答：解：（1）由MA=2AF₂，得椭圆的离心率为，即a=2c．
又椭圆的右准线l₁：x=4，所以，所以a=2，c=1．
所以求椭圆G的方程为．
（2）∵过点A作斜率为-1的直线l₂，
∴直线l₂的方程为y=-x+2，
解方程组，得或，即
∵A（2，0），∴，
所以AB中点．
AB的垂直平分线方程为，即，
令x=4，得，即．
所以，，
所以△ABC的面积．
点评：本题以椭圆的性质为载体，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形的面积，综合性强．