Question

（理）已知f（x）=ax++2-2a（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x+1平行．
（I）求a，b满足的关系式；
（II）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（III）证明：…+＞（n∈N₊）

Answer 1

（Ⅰ）解：求导函数，可得，根据题意f′（1）=a-b=2，即b=a-2 …3分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，f（x）=ax++2-2a，
令g（x）=f（x）-2lnx=ax++2-2a-2lnx，x∈[1，+∞）
则g（1）=0，g′（x）=
①当0＜a＜1时，，
若1＜x＜，则g′（x）＜0，g（x）在[1，+∞）减函数，所以g（x）＜g（1）=0，即f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒不成立．
②a≥1时，，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在[1，+∞）增函数，又g（1）=0，所以f（x）≥2lnx．
综上所述，所求a的取值范围是[1，+∞） …8分
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知当a≥1时，f（x）≥2lnx在1，+∞）上恒成立．
取a=1得，令1得，
即
所以
上式中n=1，2，3，…，n，然后n个不等式相加得到…+＞（n∈N₊）…13分．
分析：（Ⅰ）求导函数，利用图象在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x+1平行，可得f′（1）=a-b=2，即可求a，b满足的关系式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=ax++2-2a，构造新函数g（x）=f（x）-2lnx=ax++2-2a-2lnx，x∈[1，+∞）则g（1）=0，g′（x）=，比较对应方程根的大小，进行分类讨论，即可求得a的取值范围；
（Ⅲ）当a≥1时，f（x）≥2lnx在1，+∞）上恒成立，再取a=1得，令1，从而可得，进而可得结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查不等式的证明，解题的关键是正确求出导函数，构造新函数，利用函数的单调性解题．