Question

设P ( x+a，y₁)，Q ( x，y₂ )，R ( 2+a，y₃ )是函数y = f ( x )图像上的三个不同点，如果把函数y = f ( x )的图像向左平移a个单位，再向下平移b个单位，所得图像与函数y = log₂x－b的图像相同，并且使2 y₂  = y₁ + y₃成立的实数x有且只有一个．求实数a的取值范围．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：依题意，把函数y = log2x－b的图像向上平移b个单位，再向右平移a个单位，所得图像对应的函数即 y = f ( x )， ∴ y = f ( x ) = log2 (x－a) ． 并且  y1 = log2x，y2 = log2 (x－a)，y3 = log22 = 1 ． ∵ 2 y2  = y1 + y3，  即  2 log2 (x－a) = log2x + 1， 　　 　　 　　 ① 　　 ② 　　 　　     对于x的一元二次方程②， △ = (2a+2)2－4a2 = 8a + 4 = 4 (2a + 1) ． 当时，△= 0，故方程②有两相等的实数根，为x = a+1，且a+1 > a， ∴  时，使题设要求成立． 当时，△> 0，故方程②有两个不相等的实数根，为．  又 ∵， ∴  要使题设要求成立，必有：． 解此不等式易得   a ≥ 0． 综上可得所求的a的取值范围为或  a ≥ 0

提示：

函数f ( x )可依它与函数y = log2x－b的关系得到．2 y2  = y1 + y3实际上是一个关于x的方程，考虑方程有且只有一个实根的条件．