Question

已知函数f（x）=是奇函数，且f（2）=-．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求证：f（）=f（x）；
（3）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性，并加以证明．

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）=是奇函数，∴
∴q=0，∴
∵f（2）=-，∴p=2
∴
（2）证明：∵
∴
∴f（）=f（x）；
（3）增函数
设x₁＜x₂，x₁，x₂∈（0，1）
=-
∵x₁＜x₂，x₁，x₂∈（0，1）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴函数f（x）在（0，1）上单调增
分析：（1）利用函数f（x）=是奇函数，可得q=0，即，根据f（2）=-，可得p=2，从而可求函数f（x）的解析式；
（2）根据，可得，从而有f（）=f（x）；
（3）增函数．设x₁＜x₂，x₁，x₂∈（0，1），再作差，变形，从而定号下结论．
点评：本题以函数的性质为载体，考查函数的解析式，考查函数单调性的判断与证明，注意掌握步骤：取值、作差、定号，下结论．