Question

已知函数f(x)＝4^x＋m·2^x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．

Answer 1

解析：∵f(x)＝4^x＋m·2^x＋1有且仅有一个零点，

即方程(2^x)²＋m·2^x＋1＝0有且仅有一个实根．

设2^x＝t(t＞0)，则t²＋mt＋1＝0.

当Δ＝0，即m²－4＝0，

∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不符合题意，舍去)．

∴2^x＝1，x＝0符合题意．

当Δ＞0，即m＞2，或m＜－2时，t²＋mt＋1＝0有一正一负根，

即t₁t₂＜0，这与t₁t₂＞0矛盾．

∴这种情况不可能．

综上，可知m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.