Question

设a为实数，函数f（x+a）=（x+a）|x|，x∈R．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（1）＞2，求a的取值范围；
（3）当0≤x≤1时，求f（x）的最大值g（a）．

Answer 1

分析：（1）用换元法求f（x）的解析式（2）解关于a的绝对值不等式；（3）转化函数为分段函数，每一段用二次函数求得最值，两段中取最大的．

解答：解：（1）令x+a=t，
∴x=t-a，
∴f（t）=t|t-a|．
∴f（x）=x|x-a|（x∈R）．

（2）∵f（1）＞2，
∴|1-a|＞2，
∴a-1＞2或a-1＜-2，
∴a＞3或a＜-1，
∴a的取值范围是a＞3或a＜-1．

（3）f(x)=

x2-ax=f1(x)  x≥a -x2+ax=f2(x)，x＜a.

当a≤0时，f（x）在[0，1]单调递增，
∴f_max（x）=f（1）=1-a．
当a＞0时，f（x）的图象如图：
①当

a

2

＞12时，即a＞23时，
f_max（x）=f₂（1）=a-1．
②由f1(x)=

a2

4

，x＞a得，
∴x2-ax-

a2

4

=0，
∴x=

(1± 2 )a

2

．
∵x＞a，
∴x=

(1- 2 )a

2

舍去，
∴x=

(1+ 2 )a

2

．
∴当

a

2

≤1≤

(1+ 2 )a

2

时，
即2(

2

-1)≤a≤2时，fmax(x)=

a2

4

．
③当

(1+ 2 )a

2

＜1时，
即0＜a＜2(

2

-1)，
f_max（x）=f₁（1）=1-a．
综上所述，g(a)=

1-a a＜2( 2 -1) a2 4 2( 2 -1)≤a≤2 a-1 a＞2

．

点评：本题主要考查绝对值函数，分段函数和二次函数与方程不等式的内在联系，特别要注意分类讨论思想的应用．