Question

2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=$\frac{1}{2}$AD=1，CD=$\sqrt{3}$．
（1）求证：平面MQB⊥平面PAD；
（2）若二面角M-BQ-C大小的为60°，求QM的长．

Answer 1

分析 （1）证明CD∥BQ，推出QB⊥AD．得到BQ⊥平面PAD，然后证明平面MQB⊥平面PAD．
（2）证明PQ⊥AD．推出PQ⊥平面ABCD，以Q为原点建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，求出平面MBQ法向量，平面BQC的法向量，然后利用利用空间向量的数量积求解即可．

解答 解：（1）∵AD∥BC，BC=$\frac{1}{2}$AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ  …（2分）
∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°  即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD．∵BQ?平面MQB，∴平面MQB⊥平面PAD…（5分）
（2）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．…（6分）
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．
则Q（0，0，0），A（1，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-1，$\sqrt{3}$，0），
由 $\overrightarrow{PM}$=$λ\overrightarrow{PC}$=$λ（-1，\sqrt{3}，-\sqrt{3}）$，且0≤λ≤1，得M（$-λ，\sqrt{3}λ，\sqrt{3}-\sqrt{3}λ$）
所以$\overrightarrow{QM}$=（$-λ，\sqrt{3}λ，\sqrt{3}（1-λ）$），又$\overrightarrow{QB}$=（0，$\sqrt{3}$，0），
∴平面MBQ法向量为$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，0，\frac{1-λ}{λ}$）…（8分）
由题意知平面BQC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）…（9分）
∵二面角M-BQ-C为60°，
∴cos60°=$|\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{m}|}|$=$\frac{1}{2}$，∴$λ=\frac{1}{2}$…（10分）
∴|QM|=$\frac{\sqrt{7}}{2}$…（12分）

点评 本题考查二面角的平面角的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查转化思想以及计算能力．