【题目】已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f()=f(x1)-f(x2),且当x>1时,f(x)<0.
(1)求f(1)的值;
(2)判断f(x)的单调性;
(3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2.
【答案】(1)0
(2)函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数
(3){x|x>9或x<-9}
【解析】解:(1)令x1=x2>0,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.
(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则>1.
由于当x>1时,f(x)<0,所以f()<0,即f(x1)-f(x2)<0,
因此f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.
(3)令x1=9,x2=3,由f()=f(x1)-f(x2),得f(
)=f(9)-f(3),
而f(3)=-1,所以f(9)=-2.
由于函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,
所以f(|x|)<f(9),即|x|>9,解得x>9或x<-9,
因此原不等式的解集为{x|x>9或x<-9}.
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【题目】定义在R上的函数y=f(x)的图象关于点 成中心对称,对任意的实数x都有f(x)=﹣f(x+
),且f(﹣1)=1,f(0)=﹣2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2014)的值为( )
A.2
B.1
C.﹣1
D.﹣2
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【题目】已知函数y=f(x)的定义域为R,且满足
(1)f(1)=3
(2)对于任意的,总有
(3)对于任意的
(I)求f(0)及f(-1)的值
(II)求证:函数y=f(x)-1为奇函数
(III)若,求实数m的取值范围
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【题目】函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )
A.(kπ﹣ ,kπ+
,),k∈z
B.(2kπ﹣ ,2kπ+
),k∈z
C.(k﹣ ,k+
),k∈z
D.( ,2k+
),k∈z
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【题目】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)= (|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2),若x∈R,f(x﹣1)≤f(x),则实数a的取值范围为( )
A.[﹣ ,
]
B.[﹣ ,
]
C.[﹣ ,
]
D.[﹣ ,
]
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【题目】函数f(x)是这样定义的:对于任意整数m,当实数x满足不等式|x﹣m|< 时,有f(x)=m.
(1)求函数f(x)的定义域D,并画出它在x∈D∩[0,3]上的图象;
(2)若数列an=2+10( )n , 记Sn=f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(an),求Sn .
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【题目】设数列{an}的前n项和为Sn , 若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得Sn=am , 则称{an}是“H数列”.
(1)若数列{an}的前n项和为Sn=2n(n∈N*),证明:{an}是“H数列”;
(2)设{an}是等差数列,其首项a1=1,公差d<0,若{an}是“H数列”,求d的值;
(3)证明:对任意的等差数列{an},总存在两个“H数列”{bn}和{cn},使得an=bn+cn(n∈N*)成立.
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【题目】对于数列{an},若an+2﹣an=d(d是与n无关的常数,n∈N*),则称数列{an}叫做“弱等差数列”,已知数列{an}满足:a1=t,a2=s且an+an+1=an+b对于n∈N*恒成立,(其中t,s,a,b都是常数).
(1)求证:数列{an}是“弱等差数列”,并求出数列{an}的通项公式;
(2)当t=1,s=3时,若数列{an}是等差数列,求出a、b的值,并求出{an}的前n项和Sn;
(3)若s>t,且数列{an}是单调递增数列,求a的取值范围.
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