Question

在某次测试中，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为0.4，0.5，0.8，在测试过程中，甲、乙、丙能否达标彼此间不受影响．
（Ⅰ）求甲、乙、丙三人均达标的概率；
（Ⅱ）求甲、乙、丙三人中至少一人达标的概率；
（Ⅲ）设ξ表示测试结束后达标人数与没达标人数之差的绝对值，求ξ的概率分布及数学期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分别记“甲达标”，“乙达标”，“丙达标”为事件A₁，A₂，A₃，分析可得A₁，A₂，A₃相互独立，由相互独立事件的概率公式，计算可得答案，
（Ⅱ）记至少一人达标为事件B，分析可得，“至少一人达标”与“3人都不达标”为对立事件，由对立事件的概率公式，先求3人都不达标”的概率，进而可得答案，
（Ⅲ）根据题意，分析可得，ξ的可能取值为1，3，分别计算ξ 所取的值的概率，进而可得分步列，根据期望的计算公式，计算可得答案．

解答：解：（Ⅰ）分别记“甲达标”，“乙达标”，“丙达标”为事件A₁，A₂，A₃，
由已知A₁，A₂，A₃相互独立，
P（A₁）=0.4，P（A₂）=0.5，P（A₃）=0.8．
3个人均达标的概率为P（A₁•A₂•A₃）=P（A₁）•P（A₂）•P（A₃）=0.4×0.5×0.8=0.16；

（Ⅱ）分析可得，“至少一人达标”与“3人都不达标”为对立事件，
记至少一人达标为事件B，
则P（B）=1-P(

.

A1

•

.

A2

•

.

A3

)=1-P(

.

A1

)•P(

.

A2

)•P(

.

A3

)
=1-（1-0.4）（1-0.5）（1-0.8）=0.94，

（Ⅲ）测试结束后达标人数的可能取值为0，1，2，3，相应地，
没达标人数的可能取值为3，2，1，0，
所以ξ的可能取值为1，3；
P(ξ=3)=P(A1•A2•A3)+P(

.

A1

•

.

A2

•

.

A3

)=P(A1)•(A2)•(A3)+P(

.

A1

)•(

.

A2

)•(

.

A3

)
=0.4×0.5×0.8+（1-0.4）（1-0.5）（1-0.8）=0.22，P(ξ=1)=P(A1•A2•

.

A3

)+P(A1•A3•

.

A2

)+P(A2•A3•

.

A1

)+P(A1•

.

A2

•

.

A3

)+P(A2•

.

A1

•

.

A3

)+P(A3•

.

A1

•

.

A2

)
=0.4×0.5×（1-0.8）+0.4×0.8×（1-0.5）+0.5×0.8×（1-0.4）+0.4×（1-0.5）×（1-0.8）+0.5×（1-0.4）×（1-0.8）+0.8×（1-0.4）×（1-0.5）=0.78，
ξ 的概率分布如下表：

Eξ=1×0.78+3×0.22=1.44．

点评：本题考查相互独立事件、对立事件的概率计算，以及分步列、期望的计算；概率的计算是关键、基础，要加强训练．