Question

（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小

题满分7分）

（1）若对于任意的，总有成立，求常数的值；

（2）在数列中，，（，），求通项；

（3）在（2）题的条件下，设，从数列中依次取出第项，第项，…第项，按原来的顺序组成新的数列，其中，其中，.试问是否存在正整数使且成立？若存在，求正整数的值；不存在，说明理由.

Answer 1

（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小

题满分7分）

（1）若对于任意的，总有成立，求常数的值；

（2）在数列中，，（，），求通项；

（3）在（2）题的条件下，设，从数列中依次取出第项，第项，…第项，按原来的顺序组成新的数列，其中，其中，.试问是否存在正整数使且成立？若存在，求正整数的值；不存在，说明理由.

解：（1）由题设得即恒成立，

所以，.…………………………………4分

（2）由题设（）又得，

，且，

即是首项为1，公比为2的等比数列，………………………………8分

所以. 即为所求.………………………………9分

（3）假设存在正整数满足题设，由（2）知

显然，又得，即是以为首项，为公比的等比数列.………………11分

于是，………………………12分

由得，,

所以或，…………………………………………14分

当时，；

当时，；

综上，存在正整数满足题设，或.……………16分