Question

（08年哈六中）椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点的准线与轴相交于点A，，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。

   (I) 求椭圆的方程及离心率；

   (II)若求直线PQ的方程；

   (III)设，过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明

。

Answer 1

解析：由题意，可设椭圆的方程为

  由已知得

         

解得

所以椭圆的方程为，离心率 ............3分

(II)解： 由(I)可得

设直线PQ的方程为由方程组

          

得     

依题意 得

          

设 则

                                                ①

                                                ②

由直线PQ的方程得    于是

             ③

      ④..........................6分                        

由①②③④得从而

所以直线PQ的方程为

           或  .............8分

(III)证明：由已知得方程组

          

注意解得     ..............................10分

因故          

         

而所以

            ...............................12分