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对于四面体ABCD,给出下列四个命题
①若AB=AC,BD=CD,则BC⊥AD;
②若AB=CD,AC=BD,则BC⊥AD;
③若AB⊥AC,BD⊥CD,则BC⊥AD;
④若AB⊥CD,BD⊥AC,则BC⊥AD.
其中真命题的序号是 ________.(写出所有真命题的序号)

①④
分析:证明线线垂直一般采用线面垂直来证线线垂直.①的证明可转借化证明BC⊥面AHD.④的证明可转化为证垂心,然后再证明BC⊥面AED来证明BC⊥AD.②③条件下不能求出两线的夹角,也无法保证一个线垂直于另一个线所在的平面,故不对.
解答:证明:如图
对于①取BC的中点H,连接AH与DH,可证得BC⊥面AHD,进而可得BC⊥AD,故①对;
对于②条件不足备,证明不出结论;
对于③条件不足备,证明不出结论;
对于④作AE⊥面BCD于E,连接BE可得BE⊥CD,同理可得CE⊥BD,证得E 是垂心,则可得得出DE⊥BC,进而可证得BC⊥面AED,即可证出BC⊥AD.
综上知①④正确,故应填①④.
点评:本题在判断时有一定的难度,需要构造相关的图形,在立体几何中,构造法是一个常 用的方法,本题用其来将线线证明转化线面证明,
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

15、对于四面体ABCD,下列命题正确的序号是
①④⑤

①相对棱AB与CD所在的直线异面;
②由顶点A作四面体的高,其垂足是△BCD的三条高线的交点;
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高,则这两条高所在直线异面;
④分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点;
⑤最长棱必有某个端点,由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱.

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科目:高中数学 来源: 题型:

15、对于四面体ABCD,下列命题正确的是
①④⑤
.(写出所有正确命题的编号).
①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线;
②由顶点A作四面体的高,其垂足是△BCD三条高线的交点;
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高,则这两条高的垂足重合;
④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积;
⑤分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点.

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科目:高中数学 来源: 题型:

8、对于四面体ABCD,有如下命题
①棱AB与CD所在的直线异面;
②过点A作四面体ABCD的高,其垂足是△BCD的三条高线的交点;
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高,则这两条高所在直线异面;
④分别作三组相对棱的中点连线,所得的三条线段相交于一点,
其中正确的是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

17、对于四面体ABCD,下列命题正确的是
①④
.(写出所有正确命题的编号)
①相对棱AB与CD所在的直线异面
②由顶点A作四面体的高,其垂足必是△BCD的三条高线的交点
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高,则这两条高所在直线必异面
④分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点.

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科目:高中数学 来源: 题型:

以下五个命题中,正确命题的个数是
3
3

①不共面的四点中,其中任意三点不共线;
②若a,b,c为空间中不重合的三条直线,若a⊥c,b⊥c,则a∥b;
③对于四面体ABCD,任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积;
④对于四面体ABCD,相对棱AB 与CD 所在的直线是异面直线;
⑤各个面都是三角形的几何体是三棱锥.

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