Question

已知椭圆G的方程为，它与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于C点，点D（0，4），若．
（I）求椭圆G的方程；
（II）过点D的直线l交椭圆G于M，N两点，若∠NMO=90°，求|MN|的长．

Answer 1

【答案】分析：（I）由题意，A（-a，0），B（a，0），C（0，b），D（0，4），利用，建立方程组，即可求得椭圆G的方程；
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），根据∠NMO=90°，求得直线l的斜率，从而假设直线l的方程与椭圆G联立，再利用弦长公式即可得到结论．
解答：解：（I）由题意，A（-a，0），B（a，0），C（0，b），D（0，4）
∵
∴
∴a²=4，b²=1
∴椭圆G的方程为；
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），∴，解得
∴直线l的斜率为
设直线l的方程为，与椭圆G联立，消元可得
解得，
∴|MN|===
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理解题．