Question

若函数f(x)=

x2+2x，x≥0 2x-x2，x＜0

，若f（a²-6）+f（a）＞0，则实数a的取值范围是（　　）

A．（-∞，-2）∪（3，+∞）

B．（-2，3）

C．（-∞，-3）∪（2，+∞）

D．（-3，2）

Answer 1

分析：由f（x）的解析式，可以判定f（x）是R上的奇函数，且是减函数；从而化简f（a²-6）+f（a）＞0，得到关于a的一元二次不等式，求出a的取值范围；

解答：解：∵函数f(x)=

x2+2x，x≥0 2x-x2，x＜0

，
∴当x＞0时，-x＜0，∴f（x）=x²+2x=-（-x²-2x）=-[2（-x）-（-x）²]=-f（-x）；
当x＜0时，-x＞0，∴f（x）=2x-x²=-（x²-2x）=-[（-x）²+2（-x）]=-f（-x）；
且f（0）=0，
∴f（x）是R上的奇函数；
又f（1）=3，f（-1）=-3，
∴f（x）是R上的增函数；
由f（a²-6）+f（a）＞0，
得f（a²-6）＞-f（a），
又-f（a）=f（-a），
∴f（a²-6）＞f（-a），
∴a²-6＞-a，
解得a＜-3，或a＞2；
∴a的取值范围是（-∞，-3）∪（2，+∞）；
故选：C．

点评：本题考查了函数的奇偶性与单调性的判定以及不等式的解法问题，是易错题．