Question

分别求满足下列条件的函数f（x）的解析式．
（Ⅰ）f（x+1）=x²+x；
（Ⅱ）f(x+

1

x

)=x2+

1

x2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）方法一：由f（x+1），用凑元法把解析式x²+x表示为（x+1）的形式；
方法二：换元法，设t=x+1，则x=t-1，计算f（t）即可；
（Ⅱ）由f（x+

1

x

），用凑元法把解析式x²+

1

x2

表示为（x+

1

x

）的形式．

解答：解：（Ⅰ）方法一：∵f（x+1）=x²+x=（x+1）²-（x+1），∴f（x）=x²-x；
方法二：设t=x+1，则x=t-1，∴f（t）=（t-1）²+（t-1）=t²-t，即f（x）=x²-x；
（Ⅱ）∵f(x+

1

x

)=x2+

1

x2

=x²+2+

1

x2

-2=(x+

1

x

)2-2；∴f（x）=x²-2．

点评：本题考查了用换元法或凑元法求函数解析式的问题，解题时要根据题目，选择适当的方法，以便正确解答．