Question

如图所示，直角坐标系xOy建立在湖泊的某一恰当位置，现准备在湖泊的一侧修建一条观光大道，它的前一段MD是以O为圆心，OD为半径的圆弧，后一段DBC是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

），x∈[4，8]时的图象，图象的最高点为B(5，

8

3

)
（Ⅰ）求函数y=sin（ωx+φ）的解析式；
（Ⅱ）若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园OEPF，其中折线FPE为水上赛艇线路，问点P落在圆弧MD上何处时赛艇线路最长？

Answer 1

分析：（I）函数y=f（x）的相邻两条对称轴间距离，求出函数周期，得到ω，函数的图象的一个对称中心，求出φ，然后求出函数y=f（x）的解析式；
（II）在y=

8

3

sin(

π

6

x-

π

3

) 中令x=4，得OD，再连接OP，设赛艇线路长为L．利用三角函数表示出来L，再利用三角函数的性质求得L 有最大值即可解决问题．

解答：解：（I）对于函数y=Asin（ωx+φ），
由图象知，A=

8

3

，ω=

2π

T

=

2

4(8-5)

=

π

6

 …（3分）
将B(5，

8

3

) 代入到y=

8

3

sin(

π

6

x+φ) 中，得

5π

6

x+φ=2kπ+

π

2

，(k∈Z)，又|φ|＜

π

2

，
所以φ=-

π

3

，故y=

8

3

sin(

π

6

x-

π

3

) …（7分）
（II）在y=

8

3

sin(

π

6

x-

π

3

) 中令x=4，得D(4，

4 3

3

) 
∴OD=

8 3

3

 …（9分）
连接OP，设∠EOP=θ，θ∈[

π

6

，

π

2

)，则P(

8 3

3

cosθ，

8 3

3

sinθ) 
设赛艇线路长为L．
则L=PE+PF=

8 3

3

cosθ+

8 3

3

sinθ=

8 6

3

sin(θ+

π

4

) …（12分）
当θ=

π

4

 时L 有最大值

8 6

3

，此时P(

4 6

3

，

4 6

3

)．…（14分）
所以当P 点的坐标为(

4 6

3

，

4 6

3

) 时赛艇线路最长．′…（15分）

点评：题是基础题，考查三角函数的解析式的求法，注意周期的应用，两角和的余弦公式的应用，同时注意角的范围，以及角的变换的技巧，是解题的关键，考查计算能力．