Question

17．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点（1，$\frac{3}{2}$），且离心率e=$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点$P（{\frac{1}{5}，0}）$，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由离心率得到a，c，b的关系，进一步把椭圆方程用含有c的代数式表示，再结合点（1，$\frac{3}{2}$）在椭圆上求得c，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设出M，N的坐标，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于0得到m²＜4k²+3，再结合根与系数关系得到MN中点P的坐标为（-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{3m}{3+4{k}^{2}}$），求出MN的垂直平分线l′方程，由P在l′上，得到4k²+8km+3=0．结合m²＜4k²+3求得k的取值范围

解答 解：（Ⅰ）由题意椭圆的离心率e=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$ 得a=2c，∴b²=a²-c²=3c²，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{x}^{2}}$=1，
又点（1，$\frac{3}{2}$）在椭圆上
∴$\frac{1}{4{x}^{2}}+\frac{（\frac{3}{2}）^{2}}{3{c}^{2}}$=1，
∴c²=1，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）设设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，
消去y并整理得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
∵直线y=kx+m与椭圆有两个交点，
∴△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，即m²＜4k²+3，
又x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，
∴MN中点P的坐标为（-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{3m}{3+4{k}^{2}}$），
设MN的垂直平分线l'方程：$y=-\frac{1}{k}（x-\frac{1}{5}）$
∵p在l′上$\frac{3m}{{3+4{k^2}}}=-\frac{1}{k}（-\frac{4km}{{3+4{k^2}}}-\frac{1}{5}）$
即4k²+5km+3=0，$m=-\frac{{4{k^2}+3}}{5k}$，
将上式代入得$\frac{{{{（4{k^2}+3）}^2}}}{{25{k^2}}}＜4{k^2}+3$，
∴${k^2}＞\frac{1}{7}$，
即 $k＞\frac{{\sqrt{7}}}{7}或k＜-\frac{{\sqrt{7}}}{7}$
∴k的取值范围为$（-∞，-\frac{{\sqrt{7}}}{7}）∪（\frac{{\sqrt{7}}}{7}，+∞）$．

点评 本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线和圆锥曲线间的关系，涉及直线和圆锥曲线的关系问题，常采用联立直线方程和圆锥曲线方程，利用根与系数的关系求解，是中档题．