Question

（北京理）（本小题共14分）

已知双曲线的离心率为，右准线方程为

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.

Answer 1

，90度

解析:

【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程

的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．

（Ⅰ）由题意，得，解得，

 ∴，∴所求双曲线的方程为.

（Ⅱ）点在圆上，

圆在点处的切线方程为，

化简得.

由及得，

∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，

∴，且，

设A、B两点的坐标分别为，

则，

∵，且

，

.

∴ 的大小为.

【解法2】（Ⅰ）同解法1.

（Ⅱ）点在圆上，

圆在点处的切线方程为，

化简得.由及得

                 ①

                 ②

∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，

∴，设A、B两点的坐标分别为，

则，

∴，∴ 的大小为.

（∵且，∴，从而当时，方程①和方程②的判别式均大于零）.

 【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程

的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．

（Ⅰ）由题意，得，解得，

 ∴，∴所求双曲线的方程为.

（Ⅱ）点在圆上，

圆在点处的切线方程为，

化简得.

由及得，

∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，

∴，且，

设A、B两点的坐标分别为，

则，

∵，且

，

.

∴ 的大小为.

【解法2】（Ⅰ）同解法1.

（Ⅱ）点在圆上，

圆在点处的切线方程为，

化简得.由及得

                 ①

                 ②

∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，

∴，设A、B两点的坐标分别为，

则，

∴，∴ 的大小为度.

（∵且，∴，从而当时，方程①和方程②的判别式均大于零）.