Question

如图,四棱锥SABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.

(1)求证:AC⊥SD;
(2)若SD⊥平面PAC,求二面角PACD的大小;
(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.

Answer 1

（1）见解析  （2）30°   （3）存在，2∶1

(1)证明:连接BD,设AC交BD于O,

由题意知SO⊥AC.
在正方形ABCD中,AC⊥BD,
所以AC⊥平面SBD,得AC⊥SD.
解:(2)设正方形边长为a,
则SD=a,
又OD=a,所以∠SDO=60°,
连接OP,由(1)知AC⊥平面SBD,
所以AC⊥OP,且AC⊥OD,
所以∠POD是二面角PACD的平面角.
由SD⊥平面PAC,知SD⊥OP,所以∠POD=30°,
即二面角PACD的大小为30°.
(3)在棱SC上存在一点E,使BE∥平面PAC.
由(2)可得PD=a,
故可在SP上取一点N,使PN=PD.
过N作PC的平行线与SC的交点即为E.
连接BN,在△BDN中,知BN∥PO.
又由于NE∥PC,故平面BEN∥平面PAC,
得BE∥平面PAC.
由于SN∶NP=2∶1,故SE∶EC=2∶1.