Question

如图，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长是2，体积是16，M，N分别是棱BB₁、B₁C₁的中点．
（1）求异面直线MN与A₁C₁所成角的大小（结果用反三角表示）；
（2）求过A₁，B，C₁的平面与该正四棱柱所截得的多面体A₁C₁D₁-ABCD的体积．

Answer 1

解：（1）由题意得16=2²×B₁B，∴B₁B=4．
在Rt△ABC中，由勾股定理可得==A₁C₁．
同理可得=．
连接BC₁，∵M，N分别是棱BB₁、B₁C₁的中点，∴BC₁∥MN，
∴∠A₁C₁B或其补角是异面直线MN与A₁C₁所成的角．
连接BA₁，在△A₁BC₁中，由余弦定理得cos∠A₁C₁B==．
∴异面直线MN与A₁C₁所成的角为．
（2）∵；
∴，
∴多面体A₁C₁D₁-ABCD的体积为．
分析：（1）利用三角形的中位线定理、勾股定理、异面直线所成的角的定义即可得出；
（2）先计算出三棱锥B-A₁B₁C₁体积，即可得出要求的体积．
点评：熟练掌握三角形的中位线定理、勾股定理、异面直线所成的角的定义及三棱锥的体积是解题的关键．