Question

如图已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=

3

，AD=PA=1，且点E在CD上移动，点F是PD的中点．
（Ⅰ）当点E为CD的中点时，求证EF∥平面PAC，
（Ⅱ）求证：PE⊥AF．
（Ⅲ）在线段CD上是否存在点E，使得直线EF与底面ABCD所成的角为30°，若存在，求出DE的长度，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角形中位线的性质可得线线平行，从而利用线面平行的判定，可得EF∥平面PAC；
（Ⅱ）先证明CD⊥平面PAD，再证明AF⊥平面PCD，即可证明PE⊥AF；
（Ⅲ）假设存在满足要求的点E，则取AD的中点G，连接FG、EG，可得∠FGE即为EF与平面ABCD所成的角，从而可得结论．

解答：（Ⅰ）证明：∵点E、F分别为CD、PD的中点，∴EF∥PC，
又PC?平面PAC，EF?平面PAC
∴EF∥平面PAC…（4分）
（Ⅱ）证明：∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AD，AD=PA=1，点F是PD的中点
∴AF⊥PD
∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥CD，
又底面ABCD是矩形，∴AD⊥CD，
而PA∩AD=A，CD⊥平面PAD，
故CD⊥AF，
又PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD，即AF⊥PE…（8分）
（Ⅲ）假设存在满足要求的点E，则取AD的中点G，连接FG、EG，
∵FG∥PA，PA⊥面ABCD，∴FG⊥面ABCD
∴∠FGE即为EF与平面ABCD所成的角，故∠FGE=30°…（10分）
在RT△EFG中，FG=

1

2

，∠FGE=30°，∴EG=

FG

tan30°

=

3

2

在RT△DEG中，DG=

1

2

，EG=

3

2

∴DE=

EG2-DG2

=

2

2

∵DE=

2

2

＜

3

∴存在满足要求的点E，使得直线EF与底面所成的角为30°，
此时DE=

2

2

…（12分）

点评：本题考查线面平行、线面垂直的判定，考查线面角，考查学生的计算能力，属于中档题．