Question

已知球的直径PQ=4，A、B、C是该球球面上的三点，△ABC是正三角形．∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°，则棱锥P-ABC的体积为（　　）

• A．

  3

  4

  3

• B．

  9

  4

  3

• C．

  3

  2

  3

• D．

  27

  4

  3

Answer 1

分析：设球心为M，三角形ABC截面小圆的圆心为0，根据条件作出对应的直观图，求出棱锥P-ABC的高和底面边长，计算出锥体的体积即可．

解答：解：设球心为M，三角形ABC截面小圆的圆心为0，
∵ABC是等边三角形，∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°
∴P在面ABC的投影O是等边△ABC的重心（此时四心合一）
∵PQ是直径，
∴∠PCQ=90°．
∴PC=4cos30°=2

3

，
∴PO=2

3

•cos30°=3．
OC=2

3

sin30°=

3

O是等边△ABC的重心
∴OC=

2

3

OH
∴等边三角形ABC的高OH=

3 3

2

，
AC=

3 3

2

sin60°=3．
三棱锥P-ABC体积=

1

3

PO•S_△ABC=

1

3

×3×

1

2

×

3 3

2

×3=

9 3

4

．
故选：B．

点评：本题主要考查三棱锥的体积公式的计算，利用三棱锥和球的关系是解决本题的关键，考查学生的运算能力．