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已知点O在二面角α-AB-β的棱上,点P在α内,且∠POB=45°.若对于β内异于O的任意一点Q,都有∠POQ≥45°,则二面角α-AB-β的取值范围是   
【答案】分析:本题考查的知识点是二面角及其度量,由于二面角α-AB-β的可能是锐二面角、直二面角和钝二面角,故我们要对二面角α-AB-β的大小分类讨论,利用反证法结合点P在α内,且∠POB=45°.若对于β内异于O的任意一点Q,都有∠POQ≥45°,易得到结论.
解答:解:若二面角α-AB-β的大小为锐角,
则过点P向平面β作垂线,设垂足为H.
过H作AB的垂线交于C,
连PC、CH、OH,则∠PCH就是所求二面角的平面角.
根据题意得∠POH≥45
由于对于β内异于O的任意一点Q,都有∠POQ≥45°,
∴∠POH≥45°,
设PO=2x,则
又∵∠POB=45°,
∴OC=PC=,而在Rt△PCH中应有
PC>PH,
∴显然矛盾,故二面角α-AB-β的大小不可能为锐角.
即二面角α-AB-β的范围是:[90°,180°].
若二面角α-AB-β的大小为直角或钝角,
则由于∠POB=45°,
结合图形容易判断对于β内异于O的任意一点Q,都有∠POQ≥45°.
即二面角α-AB-β的范围是[90°,180°].
故答案为:[90°,180°].
点评:高考考点:二面角的求法及简单的推理判断能力,易错点:画不出相应的图形,从而乱判断.备考提示:无论解析几何还是立体几何,借助于图形是我们解决问题的一个重要的方法,它可以将问题直观化,从而有助于问题的解决.
练习册系列答案
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