Question

已知函数，；
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数在[1,2]上是减函数，求实数的取值范围；
(3)令，是否存在实数，当 (是自然对数的底数)时，函数的最小值是.若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

(1)当时，函数的单调递减区间为，递增区间为；(2)若函数在[1,2]上是减函数的取值范围是；(3) 存在使得当时，有最小值．

解析试题分析：（1）当时，，求导的，分别解不等式和，可得函数的单调递减区间和单调递增区间；（2）求导函数，利用函数在区间上是减函数，可得在上恒成立，考查函数，问题转化为二次函数在闭区间上的值：在上恒成立，列不等式求参数的取值范围；（3）假设存在实数，使得有最小值3，写出函数的表达式，求导函数，分，，三种情况讨论，确定函数的单调性，利用函数的最小值是3，即可求出实数的值．
试题解析：（1）当时，，由，得

故其单调递减和递增区间分别是.               3分
（2）在上恒成立          5分
令，，∴在上恒成立，
∴得，∴                .8分
（3）假设存在实数，使得有最小值3，
           9分
①当时，，在上单调递减，
∴(舍去)          10分
②当，即时，在上，；在上，，在上单调递减，在上单调递增，满足条件．
③当，即时，在上单调递减，（舍去）．
综上所述，存在使得当时，有最小值．
考点：1．导数的运算；2．利用导数研究函数的单调性；3．利用导数求函数的最值．