Question

10．设函数f（x）=cos（2x-$\frac{π}{2}$）+2cos²x，x∈R；
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；
（2）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位长度后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式以及倍角公式，将三角函数进行化简，然后即可求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；
（2）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位长度后得到函数g（x）的图象，求出g（x）的表达式，结合三角函数的性质即可求函数g（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的值域．

解答 解：（1）f（x）=cos（2x-$\frac{π}{2}$）+2cos²x=sin2x+cos2x+1=1+$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
则函数的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
得kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$，k∈Z，
即函数的单调减区间为[kπ+$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{5π}{8}$]，k∈Z；
（2）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位长度后得到函数g（x）的图象，
即g（x）=1+$\sqrt{2}$sin[2（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$）=1+$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴-$\frac{π}{4}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{4}$，
∴当2x-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$时，函数取得最大值为1+$\sqrt{2}$，
当2x-$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{4}$时，函数取得最小值为1+$\sqrt{2}$×$（-\frac{\sqrt{2}}{2}）$=1-2=-1，
即函数g（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的值域为[-1，1+$\sqrt{2}$]．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的诱导公式和辅助角公式进行化简是解决本题的关键．