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    某工厂用7万元钱购买了一台新机器，运输安装费用2千元，每年投保、动力消耗的费用也为2千元，每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加，第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，依此类推，即每年增加1千元．
    （Ⅰ）求使用n年后，保养、维修、更换易损零件的累计费用S（千元）关于n的表达式；
    （Ⅱ）问这台机器最佳使用年限是多少年？并求出年平均费用（单位：千元）的最小值．（最佳使用年限是指使年平均费用最小的时间，年平均费用=（购入机器费用+运输安装费用+每年投保、动力消耗的费用+保养、维修、更换易损零件的累计费用）÷机器使用的年数 ）
    分析：（I）根据已知可得保养、维修、更换易损零件的费用成等差数列，根据首项公式，可得累计费用的表达式；
    （II）由（I）得到平均费用的表达式，结合基本不等式可得年平均费用的最小值．
    解答：解：（I）∵第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，每年增加1千元
    故每年的费用构造一个以2为首项，以1为公差的等差数列
    ∴前n年的总费用S=2+3+…+n+1=
    n(n+3)
    2
    ，
    （II）设使用n年的年平均费用为y，则
    y=（72+2+2n+
    n(n+3)
    2
    ）÷n
    =
    72
    n
    +
    n
    2
    +
    7
    2
    ≥2
    		36
    +
    7
    2
    =
    31
    2

    当
    72
    n
    与
    n
    2
    ，即n=12时取等号．
    故最佳使用年限是12年，这时年平均费用最小，为
    31
    2
    千元/年
    点评：本题考查的知识点是等差数列求和，基本不等式，分析是题意，提炼出数学模型是解答的关键．
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    某工厂用7万元钱购买了一台新机器，运输安装费用2千元，每年投保、动力消耗的费用也为2千元，每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加，第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，依此类推，即每年增加1千元．问这台机器最佳使用年限是多少年？并求出年平均费用的最小值．(最佳使用年限佳是使年平均费用最小的时间)

     

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    科目：高中数学 来源：2010年山西大学附中高二上学期第一次阶段考试数学卷 题型：解答题

    某工厂用7万元钱购买了一台新机器，运输安装费用2千元，每年投保、动力消耗的费用也为2千元，每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加，第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，以此类推，即每年增加1千元。问这台机器最佳使用年限是多少年？（年平均费用最低时为最佳使用年限），并求出平均费用的最小值。

     

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