Question

求证：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内．

Answer 1

答案：
解析：

　　答案：已知：四条直线a、b、c、d两两相交，且不过同一点．

　　求证：a、b、c、d共面．

　　(1)若a、b、c、d四条直线中有三条共点，不妨设a∩b∩c＝A，a∩d＝B，b∩d＝C，c∩d＝D，且相交直线a、d所确定的平面为α，图象如图所示．

　　∵A∈a，aα，∴A∈α．∵C∈d，dα，∴C∈α．∴ACα，即bα．

　　同理，cα．∴a、b、c、d共面于α．

　　(2)若a、b、c、d四直线无三条直线共点，设a∩b＝A，a∩c＝B，b∩c＝C，且相交直线a、b确定的平面为α，图象如图所示．

　　∵B∈a，aα，∴B∈α．同理C∈α．∴BCα，即cα．同理dα．∴a、b、c、d共面于α．

　　综合(1)(2)可知，a、b、c、d四线共面．

　　思路解析：四条直线两两相交且不过同一点，又可分成两种情况：一是有三条直线共点，这同教材例1；二是任何三条直线都不共点．因而本题需分类后各自证明．

　　证明时可以先用公理3，通过两条相交线确定一个平面，再用公理1证明其他直线也在这个平面内．

提示：

四条直线两两相交且不通过同一个点，但没有说明其中的三条直线是否交于一点，故应给予讨论．本例为证明线共面、线共点、点共线、点共面提供了很好的范例，即采用先证明两条直线共面，再证明其他直线也在这个平面内．