Question

如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B，C两点，且AB=

1

3

AC，作直线AF与圆E相切于点F，连结EF交BC于点D，已知圆E的半径为2，∠EBC=30°
（1）求AF的长；
（2）求证：AD=3ED．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：直线与圆

分析：（1）延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，由已知条件求出AB，AC，再由切割线定理能求出AF．
（2）过E作EH⊥BC于H，得到EDH∽△ADF，由此入手能够证明AD=3ED．

解答： （1）解：延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，
∵BM=2BE=4，∠EBC=30°，∴BC=2

3

，
又∵AB=

1

3

AC，∴AB=

1

2

BC=

3

，∴AC=3

3

，
根据切割线定理得AF2=AB•AC=

3

×3

3

=9，即AF=3
（2）证明：过E作EH⊥BC于H，
∵∠EOH=∠ADF，∠EHD=∠AFD，
∴△EDH∽△ADF，
∴

ED

AD

=

EH

AF

，
又由题意知CH=

1

2

BC=

3

，EB=2，
∴EH=1，∴

ED

AD

=

1

3

，
∴AD=3ED．

点评：本题考查与圆有关的线段的求法，考查两条线段间数量关系的证明，是中档题，解题时要注意切割线定理的合理运用．