Question

如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是OB延长线上一点，且BD=OB，直线MD与圆O相交于点M、T（不与A、B重合），DN与圆O相切于点N，连接MC，MB，OT．
（Ⅰ）求证：DT•DM=DO•DC；
（Ⅱ）若∠DOT=60°，试求∠BMC的大小．

Answer 1

分析：（1）由切割线定理可得DT•DM=DB•DA，结合题中中点条件利用半径作为中间量进行代换，即可得证；
（2）结合（1）的结论证得△DTO∽△DCM，得到两个角∠DOT、∠DMC相等，结合圆周角定理即可求得∠BMC．

解答：证明：（1）因MD与圆O相交于点T，
由切割线定理DN²=DT•DM，DN²=DB•DA，
得DT•DM=DB•DA，设半径OB=r（r＞0），
因BD=OB，且BC=OC=

r

2

，
则DB•DA=r•3r=3r²，DO•DC=2r•

3r

2

=3r2，
所以DT•DM=DO•DC．
（2）由（1）可知，DT•DM=DO•DC，
且∠TDO=∠CDM，
故△DTO∽△DCM，所以∠DOT=∠DMC；
根据圆周角定理得，∠DOT=2∠DMB，则∠BMC=30°．

点评：本题主要考查与圆有关的比例线段、圆中的切割线定理以及相似三角形，属于基础题．