Question

18、如图所示，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DB⊥AC，点M是棱BB₁上一点．
（1）求证：B₁D₁∥面A₁BD；
（2）求证：MD⊥AC．

Answer 1

分析：（1）欲证B₁D₁∥面A₁BD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证B₁D₁与面A₁BD内一直线平行，易证BB₁D₁D是平行四边形，则B₁D₁∥BD，而BD?面A₁BD，B₁D₁?面A₁B，满足定理所需条件；
（2）因BB₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，根据线面垂直的性质可知BB₁⊥AC，而BD⊥AC，且BD∩BB₁=B，满足线面垂直的判定定理所需条件，则AC⊥面BB₁D，而MD?面BB₁D，从而得到结论．

解答：证明：（1）由直四棱柱，得BB₁∥DD且BB₁=DD₁，
所以BB₁D₁D是平行四边形，
所以B₁D₁∥BD
而BD?面A₁BD，B₁D₁?面A₁B，
所以B₁D₁∥面A₁BD
（2）因为BB₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
则BB₁⊥AC
又因为BD⊥AC，且BD∩BB₁=B，
故AC⊥面BB₁D
而MD?面BB₁D，所以MD⊥AC．

点评：本题主要考查线面平行的判定，以及线面垂直的性质，同时考查了推理论证的能力，属于基础题．