Question

5．已知四面体ABCD的所有棱长均为3，顶点A、B、C在半球的底面内，顶点D在半球球面上，且在半球底面上的射影为半球球心，则此半球的体积是4$\sqrt{6}$π．

Answer 1

分析 由题意求出正四面体的高，就是球的半径，然后求出球的体积

解答 解：由题意正四面体ABCD的所有棱长均为3，顶点A、B、C在半球的底面内，顶点D在半球面上，且D点在半球底面上的射影为半球的球心，可知正四面体的高就是球的半径，
所以底面ABC的中心到顶点A的距离：$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×3=\sqrt{3}$，
所以球的半径为：$\sqrt{{3}^{2}-3}=\sqrt{6}$．
所以半球的体积为：$\frac{1}{2}×\frac{4}{3}π（\sqrt{6}）^{3}=4\sqrt{6}π$．
故答案为：4$\sqrt{6}π$．

点评 本题考查球的内接体，球的半径与球的体积的求法，考查空间想象能力与计算能力．