Question

8．已知函数f（x）=x³-ax在x=1处取得极小值，其中a是实数．
（1）求实数a的值；
（2）用反证法证明：当x＞0时，$-\frac{2f（x）}{x^2}$，$\frac{f'（x）}{x}$中至少有一个不小于$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f′（1）=0，求出a的值即可；
（2）假设$-\frac{2f（x）}{x^2}$，$\frac{f'（x）}{x}$都小于$\sqrt{3}$，得到关于x的不等式组，得出矛盾，证出结论即可．

解答 解：（1）∵f（x）=x³-ax，
∴f'（x）=3x²-a，…（2分）
∵函数f（x）=x³-ax在x=1处取得极小值，
∴f'（1）=0，…（5分）
即3-a=0，
∴a=3．　　　　　　　　　　　　　　　　　　            　　  …（7分）
证明：（2）假设$-\frac{2f（x）}{x^2}$，$\frac{f'（x）}{x}$都小于$\sqrt{3}$
即$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{2f（x）}{x^2}＜\sqrt{3}}\\{\frac{f'（x）}{x}＜\sqrt{3}}\end{array}}\right.$…（9分）
∴$\left\{{\begin{array}{l}{-2x+\frac{6}{x}＜\sqrt{3}}\\{3x-\frac{3}{x}＜\sqrt{3}}\end{array}}\right.$
∴$（-2x+\frac{6}{x}）+（3x-\frac{3}{x}）＜2\sqrt{3}$，…（11分）
即$x+\frac{3}{x}＜2\sqrt{3}$，
当x＞0时，$x+\frac{3}{x}≥2\sqrt{x•\frac{3}{x}}=2\sqrt{3}$，当且仅当$x=\frac{3}{x}$，即$x=\sqrt{3}$时等号成立，
∴假设不成立，
∴$-\frac{2f（x）}{x^2}$，$\frac{f'（x）}{x}$中至少有一个不小于$\sqrt{3}$…（14分）

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及反证法的应用，是一道中档题．