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(本题满分14分)已知函数.

(1)求函数的单调区间;

(2)若恒成立,求实数k的取值范围;

(文科(3)证明:  .

(理科(3)证明: .

 

【答案】

(1)当时,函数的递增区间为,………2分

时,函数的递增区间为,减区间为 

(2) (3)见解析

【解析】(1)的定义域为,,………1分

时,函数的递增区间为,………2分

时,函数的递增区间为,减区间为.………4分

(2)由,………5分

,则………6分

,函数递增;当,函数递减。………8分

………10分

(3)由(1)可知若,当时有,………11分

即有,即,即有 (x>1), ………12

(文)令,则,,………14

(理)令,则,,………13分

= (n>1)

思路分析:(1)先求出函数的定义域,求函数的导数,讨论分别求出函数的单调区间;

(2)分离参数求出函数的最大值即可;

(3)由(1)得时,,所以时有,即有,可得,令,则

左右分别相加可证出文科的结论;理科令,求和再放缩可得结论。

 

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