Question

5．已知m，n∈R，函数f（x）=ln（x+m）的图象与函数g（x）=e^x-1+n的图象在x=1处有公共的切线．
（1）求m，n的值；
（2）设b＞a＞0，求证：$\sqrt{ab}＜\frac{b-a}{f（b）-f（a）}＜\frac{a+b}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用函数f（x）=ln（x+m）的图象与函数g（x）=e^x-1+n的图象在x=1处有公共的切线，可得f′（1）=g′（1），求出m，求出函数f（x）=ln（x+m）的图象在x=1处的切线方程为y=x-1，即可求出n的值；
（2）求出切线的斜率，即可证明结论．

解答 （1）解：∵g（x）=e^x-1+n，
∴g′（x）=e^x-1，
∵f（x）=ln（x+m），
∴f′（x）=$\frac{1}{x+m}$，
∵函数f（x）=ln（x+m）的图象与函数g（x）=e^x-1+n的图象在x=1处有公共的切线，
∴f′（1）=g′（1），
∴$\frac{1}{1+m}$=1，
∴m=0，
∴函数f（x）=ln（x+m）的图象在x=1处的切线方程为y=x-1．
函数g（x）=e^x-1+n的图象在x=1处的切线方程为y-1-n=x-1，即y=x+n，∴n=-1．
（2）证明：f（x）=lnx，∴f′（x）=$\frac{1}{x}$，
∵b＞a＞0，
∴a＜$\frac{b-a}{f（b）-f（a）}$＜b．
∴$\sqrt{ab}$＜$\frac{b-a}{f（b）-f（a）}$＜$\frac{a+b}{2}$．

点评 本题考查利用导数求切线的方程，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．