Question

如图，已知椭圆上两定点，直线与椭圆相交于A，B两点（异于P，Q两点）
（1）求证：k_PA+k_QB为定值；
（2）当m∈（-1，2）时，求A、P、B、Q四点围成的四边形面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为直线l与椭圆交于A，B两点，所以设出A，B点的坐标，用A，B，P，Q的坐标表示k_PA与k_QB，因为A，B坐标为直线与椭圆方程联立组成的方程组的解，求出x₁+x₂，x₁x₂，代入，k_PA+k_QB，化简，即为定值．
（2）直线AB把四边形APBQ分成两个三角形，两个三角形都可看做以线段AB为底边，分别以P，Q到AB的距离为高的三角形，用弦长公式求出|AB|长，点到直线的距离公式求出P，Q到AB的距离，再代入三角形面积公式即可．
解答：解：（1）设A（x₁，y&₁），B（x₂，y₂），
联立直线与椭圆的方程∴
用代入可得
=
（2）
∵P，Q在直线l两侧
∴
当m=0时∴为其面积的最大值．
点评：本题主要考查了直线与椭圆相交，弦长公式，点到直线的距离公式，韦达定理等的综合应用．