Question

已知sin(2α+β)=3sinβ，β≠kπ+

π

2

，α+β≠kπ+

π

2

(k∈Z)，
求证：tan（α+β）=2tanβ．

Answer 1

分析：把条件3sinβ=sin（2α+β）中的角都用所要证明的结论中的角表示为3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]；再利用两角和与差的正弦公式展开，整理即可证明结论．

解答：证明：由3sinβ=sin（2α+β）得：
3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]
⇒3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα
⇒sin（α+β）cosα=2c0s（α+β）sinα
∵α+β≠

π

2

+kπ，k∈Z．
∴

sin(α+β)cosα

cos(α+β)cosα

=

2cos(α+β)sinα

cos(α+β)cosα

．
⇒tan（α+β）=2tanα．

点评：本题考查三角恒等式的证明，一般都是把已知条件与所证结论相结合，即要看条件，又要分析条件和结论之间的关系．